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分式的运算

第一篇:分式的运算

§17.2 分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则

(1)乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母 的积作为积的分母。

(意思就是,分式相乘,分子与分子相乘,分母 与分母相乘) 。 a c ac ? ? b d bd 用式子表示: (2)除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置 后,再与被除式相乘。 a c a d ad ? ? ? ? b d b c bc 用式子表示: 2、应用法则时要注意

(1)分式中的符号法则与有理数乘除法 中的符号法则相同, “同号得正, 即 异号得负, 多个负号出现看个数, 奇负偶正”(2)当分子分母是多项式时,应先进行因式分解,以便 ; 约分; (3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方 1、法则:根据乘方的意义和分式乘法法则,分式的乘方就是把 将分子、分母分别乘方,然后再相除。 an ?a? ? ? ? n 用 式 子 表 示

?b? b n (其中 n 为正整数,a≠0) 2、注意事项

(1)乘方时,一定要把分式加上括号; (2)在一 个算式中同时含有乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有 多项式时应先因式分解,再约分; (3)最后结果要化到最简。

三、分式的加减法 (一)同分母分式的加减法 1、法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。 a c a?c ? ? b b b 用式子表示: 2、注意事项

“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加 (1) 减,各个分子都应有括号;当分子是单项式时括号可以省略,但分母 是多项式时,括号不能省略; (2)分式加减运算的结果必须化成最简 分式或整式。

(二)异分母分式的加减法 1、法则:异分母分式相加减,先通分,转化为同分母分式后, a c ad bc ad ? bc ? ? ? ? bd 。

再加减。用式子表示

b d bd bd 2、注意事项

(1)在异分母分式加减法中,要先通分,这是关 键,把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

(2)若分式加 减运算中含有整式,应视其分母为 1,然后进行通分。

(3)当分子的 次数高于或等于分母的次数时, 应将其分离为整式与真分式之和的形 式参与运算,可使运算简便。

四、分式的混合运算 1、运算规则:分式的加、减、乘、除、乘方混合运算,先乘方, 再乘除,最后算加减。遇到括号时,要先算括号里面的。

2、注意事项

(1)分式的混合运算关键是弄清运算顺序; (2) 有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用, 要灵活运用交换 律、结合律和分配律; (3)分式运算结果必须化到最简,能约分的要 约分,保证运算结果是最简分式或整式。 例计算:(1) a2 ? 4 1 ? ?a ? 2? ? ; a?2 a?2 (2) x2 ? x ? 2; x?2 (3) ?1 ? ? ? 2 x ?1 ? x?4 ? ?? 2 x x ? 2 ? x ? 2x 【分类解析】 一、分式运算的几种技巧 x ?1 x 2?2 x 1、先约分后通分技巧例 计算 x 2 ? 3 x ? 2 + x 2 ? 4 分析:不难发现,两个分式均能约分,故先约分后再计算 x ( x ? 2) x ?1 x ?1 x 1 解:原式= ( x ?1)( x ? 2) + ( x ? 2 )( x ? 2 ) = x ? 2 + x ? 2 = x ? 2 x 2 ?3 x ?3 x 2 ?5 x ? 7 1 2、分离整数技巧例 计算 x 2 ? 3 x ? 2 - x 2 ? 5 x ? 6 - x 2 ? 4 x ? 3 分析:两个分式的分子、分母不能约分,如把分子突出分母,分离整数方法可使计算化简。 ( x 2 ? 3 x ? 2 ) ?1 解:原式= ( x 2 ? 5 x ? 6 ) ?1 - x ?3 x ? 2 2 x ?5 x ? 6 2 1 - x ? 4 x ?3 2 1 1 1 =1+ x 2 ?3 x ? 2 -1- x 2 ?5 x ? 6 - x 2 ? 4 x ? 3 = ( x ?1)( x ?2) - ( x ? 2)( x ?3) - ( x ?1)( x ?3) 1 1 1 x ? 3 ? ( x ?1) ? ( x ? 2 ) ?x x = ( x ?1)( x ? 2 )( x ? 3 ) = ( x ?1)( x ? 2)( x ?3) =- ( x ?1)( x ? 2)( x ?3) 3、裂项相消技巧例 计算 x ( x ?1) + ( x ?1)( x ?3) + ( x ?3)( x ? 6) 1 2 3 1 1 1 1 分析:此类题可利用 n ( n ? m ) = m ( n - m )裂项相消计算。 解:原式=( x - x ?1 )+ 2 ( x ?1 - x ? 3 )+ 3 ( x ? 3 - x ? 6 ) = x - x ? 6 = x ( x ? 6) 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 6 练习

4、分组计算技巧例 计算 a ? 2 + a ?1 - a ?1 - a ? 2 分析:通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为 a -4,第二项、第三项分母乘积为 a -1, 采取分组计算简捷。

解:原式=( a ? 2 - a ? 2 )+( a ?1 - a ?1 ) 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 4 ?4 12 = a 2 ?4 + a 2 ?1 = ( a 2 ? 4)( a 2 ?1) 练习

5、分式求值问题全解 1)字母代入法 例 1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求 a b c d ? ? ? 的值. a?d a?b?c b?c?d a?d 【解析】 仔细观察已知条件,虽然出现的字母很多,但都可以用一个字母代替

a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3 所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简 a b c d ? ? ? a?d a?b?c b?c?d a?d = a a ?1 a?2 a?3 ? ? ? a ? a ? 3 a ? a ?1? a ? 2 a ?1? a ? 2 ? a ? 3 a ? a ? 3 a a ?1 a ? 2 a?3 ? ? ? 2a ? 3 3a ? 3 3a ? 6 2a ? 3 = = a?a?3 a ?1 a?2 ? ? 2a ? 3 3(a ? 1) 3(a ? 2) 1 1 ? 3 3 =1 ? = 5 3 【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时, 第一个要想到的方法就是 字母带入法, 因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示, 所以用这种方法能不能得 到正确结果就在于自己的分式化简能力了。

2) 设值代入法 例 2. 已知 x y z xy ? yz ? zx x 2 ? ? ,求证

? a b c ab ? bc ? ca a 2 b c x , z ? x ,代入后分式的分子 a a x z y 分母中有分式,化简麻烦。我们用一种新的代作文入方式,考虑到 、 、 连等,让它们都 a b c 【解析】这道题也可以用字母代入法,可以得到 y ? 等于 k 代入得 则 x=ak y=bk z=ck xy ? yz ? zx akbk ? bkck ? ckak = ab ? bc ? ca ab ? bc ? ca ab ? bc ? ca 2 k = ab ? bc ? ca =k ? 2 x2 a2 【探讨】 设 当遇到连等式,可以采用以下三种方式来运用这个条件 x y z ? ? a b c b c 则(1) y ? x , z ? x a a x y z (2)设 ? ? ? k 则 x=ak y=bk z=ck a b c x y z x? y?z ? k 其中 a ? b ? c ? 0 (3)设 ? ? ? k 则 a b c a?b?c 3) 整式代入法 例 3. 已知: 1 1 2a ? 3ab ? 2b ? ? 3 ,求分式 的值. a b a ? ab ? b 【解析】如果用字母代入法,要用 b 代替 a 本来就比较复杂,会增加我们化简的负担。

将条件化简成乘积形式,得 b?a 2(a ? b) ? 3ab ? 3 ,再将分式稍化简变为 ,可以发现分 ab (a ? b) ? ab 子分母中只有(a-b)和 ab 这两项,所以可以用 ab 代替 b-a b ? a ? 3ab 2a ? 3ab ? 2b 2(a ? b) ? 3ab ? 6ab ? 3ab 3 ? ? ? a ? ab ? b (a ? b) ? ab ? 3ab ? ab 4 【探讨】用整式代入法,能够很大程度地化简代数式,比字母代入法更优越,但要善于观 察代数式的组成部分,比如这题,代数式就含有 ab 和 a-b 这两项,刚好条件也适当变形能 得到 a-b 与 ab 的关系,题目很快就解出来了。

4) 变形代入法 这类题是用代入法最需要技巧的,我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。

例 4(方程变形). 已知 a+b+c=0,a+2b+3c=0,且 abc≠0,求 ab ? bc ? ca 的值. b2 【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多, 因为代数式比条件复杂, 而且给代数式做形变漫无目的,往往得不到想要的结果。

这道题已知条件是两个等式,三个字母,所以我们可以用一个字母表示其它字母,对已 知条件变形得到方程组 a+b+c=0 ==> a+2b+3c=0 a=c 用 c 代替 a、b 代入到分式中,能很快求解出来 b=-2c ab ? bc ? ca ? 2c 2 ? 2c 2 ? c 2 3 ?? = 2 2 b 4 4c 例 5(非负变形). 已知

a ? b ? 8a ? 6b ? 25 ? 0 ,求 2 2 2a 2 ? ab ? 6b 2 的值. a 2 ? 4ab ? 4b 2 【解析】观察已知条件,有平方项,所以可以化成平方的形式 a 2 ? b 2 ? 8a ? 6b ? 25 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 3) 2 ? 0 其中 (a ? 4) ? 0 2 (b ? 3) 2 ? 0 所以 (a ? 4)2 =0 (b ? 3) 2 =0 得 a ? 4, b ? ?3 再带入原式很容易求出解。

例 6(对应变形). 证明:若 a+b+c=0,则 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 0. 2 2 2 2 b ?c ?a c ? a ?b a ? b2 ? c2 2 【解析】这题可以用整式代入法,比如用-b-c 代替 a,但是代数式 a 的符号和位置在三个 分式中不同,如果用 a ? (b ? c) 代入得到的分母截然不同,增大化简的难度。 2 2 如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式,反而化简方便,比如

用 a=-b-c 代入 b ? c ? a 中的 a,得到-2bc 2 2 2 用 b=-a-c 代入 c ? a ? b 中的 b,得到-2ac 2 2 2 用 c=-a-b 代入 a ? b ? c 中的 c,得到-2ab 2 2 2 原式= 1 1 1 a?b?c ? ? ? ?0 ? 2bc ? 2ac ? 2ab ? 2abc 例 7(倒数变形). 已知 2abc xy xz yz ? a, ? b, ? c, 且abc ? 0. 求证 x ? bc ? ac ? ab x? y x?z y?z 【解析】已知条件是 xy xy 的形式,不能化简,如果颠倒分子分母,将 ? a 改写成 x? y x? y 1 x? y 1 1 ? ? ? 的形式,使得 x、y 相互独立,简化已知条件。

a xy x y 写出变化后的形式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? , ? ? a x y b x z c y z 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ?( ? )?( ? )? c y z x y x z x 1 1 2 ? ? a b x 2 1 1 1 所以 ? ? ? x a b c bc ? ac ? ab = abc 2abc 则x? ,得证。

bc ? ac ? ab = 例 8(归类变形). 已知 a ? 1 1 1 ? b ? ? c ? ,且 a、b、c 互不相等,求证

a 2 b 2 c 2 ? 1 b c a 【解析】已知条件有三个字母,两个方程,若用 a 表示 b、c,能不能求出 b、c 的代数式 都是问题。因此我们变形不要太过着急,如果从消元化简的方式不能变形,就考虑从结构化 简的方式来变形。

这道题条件的形式不复杂,分为整式和分式,将整式归类,分式归类: a ?b ? 1 1 b?c ? ? ,可以发现分式形式大致消失了, c b bc 剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式 bc 将能从已知条件得到的关系列出来 a ?b ? b?c c?a a ?b ,b ? c ? ,c ? a ? bc ac ab (b ? c)( c ? a)( a ? b) , a 2b 2 c 2 左边和左边相乘,右边和右边相乘得 (a ? b)( b ? c)( c ? a) ? 所以 a b c ? 1 2 2 2 【结论】给已知条件变形是用代入法的前提,变形的目的是化简已知条件,可以从两个角 度上来化简

消元的角度:方程变形、非负变形------减少字母数量,方便化简 化简 结构的角度:对应、倒数、归类变形---调整关系式结构,方便化简 代入的方法多种多样,在此不可能一一列举出来,对大部分题目,观察代数式,对已知 条件适当变形再代入是最适用的方法, 当然也有例外, 比如习题 4, 代数式并不是最简形式, 可以先化简代数式再代用条件,事办功倍。

【练习】 a b c 2a 2 ? 3bc ? b 2 1、已知 ? ? , 则 2 2 3 4 a ? 2ab ? c 2 A. 的值等于( ) (设值代入) 1 2 B. 2 3 C. 3 5 D. 19 24 ) (整式代入) 2、若 a2+b2=3ab,则(1+ 2b3 2b ) ? (1 ? ) 的值等于( 3 3 a ?b a ?b C. 1 D. A. 1 2 B. 0 2 3 (非负变形) 3、已知:a+b+c=0,abc=8.求证

4、已知:a+b+c=0. 求证

a ? 1 1 1 ? ? <0. a b c ?1 1? ? 1 1? ? 1 1? ? ? ? b ? ? ? ? c ? ? ? ? 3 ? 0. ?b c? ?a c? ?a b? (代数式归类变形) 5、已知 abc=1,求证: a b c ? ? ? 1 (对应变形) ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ac ? c ? 1

第一篇:分式的运算

分式的混合运算 一、教学目标 知识目标 1.熟悉分式四则运算的运算顺序。

2.熟练地进行分式的四则运算。

能力目标 通过分式四则运算的学习,进一步提高学生的分析能力和运算能力。

二、重点难点和关键 重点:熟练地进行分式四则运算。

难点:分式四则运算的顺序。

关键:分式四则运算的顺序。

三、教学方法和辅助手段 教学方法:讲练结合、以练为主 辅助手段:幻灯投影 四、教学过程 复习 计算: x?5 x2 4?x ? ? 1. x ?3 3? x 3? x 3. ( x ? y) 2 ? 2. x ? 1 x ? 1 8x ? 8 ? ? x ? 4 4 ? x x 2 ? 16 2 xy 2 x ? 2 x 2 ? y 2 x ? xy 通过计算帮助学生复习分式的有关知识。

提问:分数的四则运算是如何进行的?(先乘除,再加减,有括号先算括号里的) 新课讲解 1.例题讲解 例 1.计算 1 x ? 3 x 2 ? 2x ? 1 ? 2 ? x ? 1 x ? 1 x 2 ? 4x ? 3 注意:此题要注意运算顺序,先乘后减。

解:原式= 1 x?3 ( x ? 1) 2 (先因式分解,便于约分) ? ? x ? 1 ( x ? 1)(x ? 1) ( x ? 3)(x ? 1) 1 x ?1 x ?1 x ?1 ? ? = 2 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1) 2 (通分) = = x ?1? x ?1 ( x ? 1) 2 2 ( x ? 1) 2 (注意符号) = 例 2.计算 ( 解:原式= [ x?2 x ?1 x?4 ? 2 )? 2 x x ? 2x x ? 4x ? 4 x?2 x ?1 x?4 (括号里的分母先因式分解) ? ]? 2 x( x ? 2) ( x ? 2) x ( x ? 2)(x ? 2) ? x( x ? 1) x (将括号里的先通分,并将除法转化为乘法) ? x?4 x( x ? 2) 2 ? ? x2 ? 4 ? x2 ? x x (计算分子、注意符号) ? x?4 x( x ? 2) 2 x?4 x 1 (注意符号、约分) ? ? 2 x( x ? 2) x ? 4 ( x ? 2) 2 ? 练习:P84T1、T2 (板演、讲评) 小结(引导学生自己小结) 1.分式混合运算要注意顺序。

(先乘除,再加减,有括号先算括号里的) 2.计算时要求步骤详细,每步能说出变形依据。

3.运算时要注意符号。

作业 课内:P87A 组 T5(5)(6)T6 五、板书设计(略) 六、教学后记 课外

P87 B 组及“读一读”

第一篇:分式的运算

分式的运算练习题 (1) (6) 3n ? m m?n m ? 3n m ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 2 m ?n n ?m m ?n n ? m2 (10) ( x?2 x ?1 x 1 ? 2 )? ?( ? 1) 2 x?2 x ? 2x x ? 4x ? 4 4 ? x ? (? a2 3 a2 1 1 ) ? (? ) 3 ? ( ) 4 ? 3 b b ab 2a (2) [ 2 2 x? y x? y ? ?( ? x ? y)] ? 3x x ? y 3x x (7) 3x 2 ? 9 x ? 7 2 x 2 ? 4 x ? 3 x 3 ? x ? 1 ? ? x ?1 x ?1 x2 ?1 (11) ( x y x y y ? ) ? ( ? ? 2) ? (1 ? ) y x y x x m n2 ? m 3 m m 2 ? n 2 ? 2m n ? ? (3) n ? m m 2 ? n 2 ? 2m n m2 ? n2 (8) 2a ? b ? c 2b ? a ? c 2c ? b ? a ? ? (a ? b)(a ? c) (b ? c)(b ? a) (c ? b)(c ? a) (12) 3 ?a?3 a ?1 (4) (13) 已知 a= --1,求 a 2 ? 2a ? 1 a4 ? a2 2a 2 a a2 2 ? ? ( ? ? ) a 2 ? 2a ? 3 a 2 ? 4 a ? 3 a 2 ? 1 1 ? a a ? 1 a ? 3 a ?1 a3 ? 8 ? ? 1) ? 4 (9) ( 2 a ?1 a ?1 a ? 3a 3 ? 2a 2 ( a ?1 a?4 7?a 1 ? 2 )? ? 的 a ? 8a ? 15 a ? 10 a ? 25 2a ? 6 5 ? a 2 值 (5) 1 1 2a 4a 3 ? ? ? a ? b a ? b a2 ? b2 a4 ? b4 1 (14) 已知 c a ? b ? c ? 0, 求 2 ? 2 ? 2 的值 2a ? bc 2a ? ac 2c ? ab a 2 b 2 2 (18) 已知 a 的值 2 ? 3a ? 1 ? 0 , 求 (a ?5 a3 ?1 1 ? 1) ? 2 ? a ?1 a ? 2a a ? 3 2 (22) 已知 x 2 ? 5x ? 2008? 0 ,求 ( x ? 2) 3 ? ( x ? 1) 2 ? 1 的值 x?2 (15) 已知 1 1 3x ? xy ? 3 y ? ? 2, 求 的值 x y y ? xy ? x (19) ( a 2 ? 5a ? 2 a2 ? 4 1 ? 1) ? 2 ? ,其中 a?2 a ? 4a ? 4 a (23) a ? 2? 3 2x 2 x2 ? 3 1 ? ? 已知|x|=3,试求 的值 x?2 2? x x?2 (16) ( 4 x? y x 2 ? xy ? 2 y 2 ? ) ? , 其中x ? 2 , y ? ?3 x 2 ? y 2 xy 2 ? x 2 y x 2 y ? 2 xy 2 (20) 中 x=-3 1? x 2x 1 ?x x ?1 其 ?( 2 ? ? )? 3 x ? x ? 2 x ? 1 1 ? x x ? 1 x ? 2x 2 2 1 1 x 3 ? 5x 2 x 3 (24) (2 ? ? )? 2 ? (x ? ), 其中x ? ? 2 x ? 1 x ? 1 x ? 4x ? 5 4 1? x (17) 已知 x2 ? x ? 3 A B C ? ? ? , 求A、B、C 的 ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) x ? 1 x ? 2 x ? 3 值 (21) (25) 已知 a ? 2a ? 4 2 a 2 ? 8a ? 16 ? a ?8 a ? 2a ,其中 ? a ? 5a ? 4 4 ? a 2 3 2 2 x x2 ? a (a ? 0) , 求 4 的值 x2 ? x ?1 x ? x2 ?1 a? 5 2
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